1. 약수와 배수

**약수, 배수**
자연수 a를 자연수 b로 나누면, a = b × (몫) + (나머지) 인 관계가 성립한다. (몫은 0 또는 자연수이고, 나머지는 b 보다 작다.) 특히 나머지가 0 일 때는 a = b × (몫) 인 관계가 성립한다
약수와 배수 : 수의 경우와 같은 형태로 다항식 A가 다항식 B로 나누어떨어질 때, 즉 A(Q는 다항식)가 될 때,B를A의 약수,A를B의 배수라 한다. (예) .에서 .은 .의 약수, .은 .의 배수, 같은 방법으로 .은 .의 약수, . 은 .의 배수
모든 자연수 a 에 대하여 a = 1 × a 이므로 1은 모든 자연수의 약수이다 a는 자기 자신의 약수이고 배수이다.<주의> 약수와 배수는 자연수에서만 생각하기로 한다.
탁구공으로 구하는 약수 탁구공 12개를 나무판 속에 넣은 후, 가로 막대, 세로 막대로 밀어 탁구공을 직사각형 모양으로 배열해보자. 만약 탁구공이 사진과 같이 배열되었다면 무엇을 뜻하는 것일까? 12개의 탁구공이 가로 6개, 세로 2줄로 배열되었다는 것은 6이 12의 약수, 2가 12의 약수라는 뜻이다. 따라서 탁구공을 나무판에 넣어 놓고 가로 막대, 세로 막대로 밀어 직사각형 모양으로 배열되면 그 배열이 나타내는 두 수는 탁구공의 전체 개수의 약수가 된다
배수 찾기 2의 배수:일의 자리 숫자가 0 또는 2의 배수인가? 5의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 5인가? 4의 배수 : 끝의 두 자리가 00 또는 4의 배수인가? 3의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수인가? 9의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수인가? 예) 1512 - 각 자리의 숫자의 합이 9 (9의 배수)이므로 1512은 9의 배수
공약수, 최대공약수 . 공약수(common divisor) : 어떤 수들의 공통인 약수 . 최대공약수(greateast common divisor) : 공약수 중 가장 큰 수 . 공약수와 최대공약수 구하는 방법 ㉠ 두 자연수의 약수를 각각 구한다. ㉡ 약수들 중 공통된 약수를 찾는다. ⇒ 공약수 ㉢ 공통된 약수 중 가장 큰 공약수를 찾는다. ⇒ 최대공약수 . 8 의 약수 : 1, 2, 4, 8 6의 약수 : 1, 2, 3, 6 -->1, 2는 8과 6의 공약수, 2는 8과 6의 최대공약수 . 12의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 30의 약수 : 1, 2, 3, 5, 6, 15, 30 --> 1, 2, 3, 6은 12와 30의 공약수, 6은 12와 30의 최대공약수. 서로소(relatively prime):공약수가 1 하나 뿐인 두 자연수 사이의 관계 (예) 8의 약수={1,2,4,8}, 9의 약수={1,3,9}에서 8과 9의 공약수는 1 한 개 뿐이므로 8과 9는 서로소	방법1) 두 수의 공약수를 먼저 구하고, 그 중에서 가장 큰 수가 최대공약수가 된다. 12의 약수 = 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 18의 약수 = 1, 2, 3, 6, 9, 18이다. 12와 18의 약수 중 공통인 약수는 1, 2, 3, 6이므로, ∴ 12와 18의 공약수 = 1, 2, 3, 6이다. 따라서, 최대공약수는 공약수 중 가장 큰 수이므로, 최대공약수는 6이다
	방법2) 몫이 서로소가 될 때까지 각 수의 공통인 인수로 나눈 뒤, 이 공통인 인수들을 곱하면 최대공약수가 된다. 이 때, 최대공약수의 약수가 공약수가 된다. 2 ) 12 18 3 ) 6 9 2 3 두 수의 공통인 인수 2, 3을 곱하면 최대공약수가 된다. ∴ 최대공약수는 2 × 3 = 6이다. 여기서 공약수를 구해 보면, 최대공약수 6의 약수가 12와 18의 공약수이므로, ∴ 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이다.
	방법3) 소인수분해 첫째, 밑이 같은 것을 취한다.( ) 둘째, 밑이 같은 수 중에서 지수가 같거나 작은 쪽을 택한다. ( ) 셋째, 구한 수들을 서로 곱하면 최대공약수가 된다. (따라서 12와 18의 최대공약수는 2 × 3 = 6이다.) 각 수들을 소인수분해하여 공통인 소인수 중 지수가 같거나 작은 쪽을 택하여 이들을 곱하면 최대공약수가 된다. 12 18 ↙↘ ↙↘ 3 4 ( ) 2 9 ( ) ∴ ∴ 따라서, 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × × 3 × 3 최대공약수 = 2 × 3 = 6
공배수와 최소공배수 . 공배수(common multiple) : 배수 중에서 공통된 배수 . 최소공배수(least common multiple) : 공배수 중 가장 작은 수 . 공배수와 최소공배수 구하는 방법 ㉠ 두 자연수의 배수를 각각 구한다. ㉡ 약수들 중 공통된 배수를 찾는다. ⇒ 공배수 ㉢ 공통된 약수 중 가장 작은 공배수를 찾는다. ⇒ 최소공배수 . 6의 배수 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … . 9의 배수 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, … --> 6과 9의 공배수 : 18, 36, ..., 6과 9의 최소공배수 : 12 공배수는 최소공배수의 배수 두 개 또는 그 이상의 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수 (예) 2와 3의 공배수는 6, 12, 18, ... 이고 모두 최소공배수 6의 배수	방법1) 공통인 소인수로 계속 나누는 방법 ①두 개 이상의 수의 공통인 소인수로 각 수를 나눈다. (나누어지지 않는 수는 그대로 내려쓴다) ②어느 두 수의 몫도 서로소가될 때 까지 계속 나눈다. ③나눈 소인수와 마지막 몫을 모두 곱한다
	방법2) 소인수분해를 이용하는 방법 ①각각의 수를 소인수 분해한다. ②공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱한다

톱니바퀴로 구하는 최소공배수 톱니바퀴를 이용해서 두 수의 최소공배수를 구할 수 있다. 12와 18의 최소공배수를 구하려면 오른쪽 그림과 같이 톱니가 12개, 18개인 두 개의 톱니바퀴를 끼운다. 톱니가 각각 12개, 18개인 바퀴에서 색칠되어져 있는 톱니가 제자리에 돌아와 일치할 때가 바로 12와 18의 최소공배수를 구할 수 있을 때이다.
최대공약수와 최소공배수의 관계 최고차항의 계수가 1인 두 다항식 A , B 에서, 로 인수분해되고 a, b 가 서로소이면, A , B 의 최대공약수는 G , 최소공배수 L 은 abG 이다. 그런데, 따라서,