BC500년경, 그리스인 피타고라스가 발견하였다고 되어 있으나 특별한 경우는 그보다 훨씬 이전에 알려져 있었다고 독일의 우명한 역사학자 칸토르는 말하고 있다. [파피루스]에서 판단하여 이집트 사람은 BC2300년경, 3 : 4 : 5 의 길이를 이용하여 직각을 만들었으며 인도에서도 BC400~500년경 15, 36, 39를 세 변으로 하는 삼각형으로 이미 직각을 만들었다고 한다. 그러나 피타고라스에 이르러 비로소 이 정리가 일반적으로 알려졌다고 한다. 우리들이 공부하는 기하학은 탈레스에 의해 최초로 조직화되었고, 피타고라스에 의하여 일반인에게 교육 보급되었다. 피타고라스는 젊었을 때 여러 곳을 유학하면 공부한 후 사모스에 돌아와 가르치기 시작하였는데, 때마침 사모스에는 포리크라데스가 학정을 실시하여 자유가 없었으므로 시실리에서 타렌트로 이어서 구로톤으로 옮겨가며 학교를 창설하여 명성을 떨쳤다. 이 학교에는 학문에 뜻을 두고 진리를 갈구하는 많은 젊은 학도들이 구름같이 모여 들어 그 수는 300을 넘었으며, 그 당시 공개 석상에 나오지 못하게 되어 있던 여자들까지도 앞을 다투어 그의 강의를 들었다고 한다. 학생들을 '피타고라스 학도'라는 정식 학생과 청강생으로 나누었고, '그리스인 중 가장 현명하고 가장 용감한 자'라는 존칭을 받은 피타고라스는 흰 까운에 별 모양의 5각형 무늬를 새긴 황금관을 쓰고 위풍 당당하게 교단에 섰다고 한다. 그리고 학도들은 배운 내용에 관해서는 일체 비밀을 지켰으며 특히 정식 학도들은 간소한 생활, 엄격한 교리, 극기, 절제, 순결, 순종의 미덕증진을 목적으로 단체 행동을 하며 전심전력을 다하였다. 그리하여 이 교단은 일대 세력을 갖게 되었고, 각 방면에서 선망의 대상이된 동시에 질시의 표적이 되어 드디어 정치적 반대파로부터 불의의 공격을 받게 되었다. 피타고라스당의 사람들은 이 사실을 알고 부녀자들을 배에 태워 시실리 방면으로 미리 피난시키고 피타고라스를 호위하면서 메소포타미아쪽으로 도망을 갔으나 추격은 점점 심해지고 따르는 문하생도 하나 둘쌕 떨어져나가 드디어 피타고라스는 체포되어 살해되고 말았다. 그리스 7현 중의 한사람인 그의 말로는 아르키메데스처럼 비장한 것이었다. 이와 같이 피타고라스 학파 사람들은 비밀을 엄수하였으므로 누가 어떤 발견을 하였는지 알 길이 없고, 발견은 모두 피타고라스가 한 것으로 되어 있었다. 피타고라스의 정리에 관해서는 데오게네스,라에주스와 플루타크는 "피타고라스가 이정리의 증명을 성공하였을 때, 너무 기뻐서 100마리의 황소를 잡아 신에게 바쳤다."라고 전하고 있다. 그러나 이 이야기에 대해서는 여러가지 반대설도 있으며 피타고라스는 "영혼은 불멸하고 윤회 이전하는 것"이라고 믿었으므로 피를 흘리는 것을 좋아하지 않았기 때문에 신에게 바친 것도 살아있는 소가 아니고, 밀가루로 만든 소 한 마리였다고 주장하고 있다. 피타고라스는 이 정리 발견의 힌트를 길가에 깔린 타일을 보고 얻었다고도 한다.

1. 유클리드의 증명법

옆의 그림과 같이 ∠C=90°인 직각삼각형 ABC 에 대하여 세 변의 길이를 각각 한 변의 길이로 하는 정사각형 ADEB, ACHI, BFGC를 그린다.
점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발을 M, 그 연장선과 변 BE와 만나는 점을 N이라고 하자. 이 때
     □ ACHI = 2 △ ACI       ‥‥‥(1)
 또, 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,
     △ ACI = △ ABI            ‥‥‥(2)
 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로,
     △ ABI ≡△ ADC           ‥‥‥(3)
 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,
     △ ADC = △ ADM         ‥‥‥(4)
 또, □ ADNM = 2 △ ADM    ‥‥‥(5)
 (1), (2), (3), (4), (5)에서
     □ ACHI = □ ADNM       ‥‥‥(6)
 같은 방법으로
     □ ACHI = □ ADNM       ‥‥‥(7) 
 (6), (7)에서
     □ ADEB = □ ACHI + □ BFGC  
    ∴

2. 피타고라스의 증명법(1)

피타고라스는 당시 사원의 보도 블록을 보고 이 정리의 힌트를 얻었다고 한다.
  그림을 보자. 하늘색 직각삼각형의 주위를 유심히 보면, 빗변 위에 그려진 정사각형에는 보도 블록 4개가 들어가고 다른 변 위에 그려진 정사각형에는 각각 2개씩 들어간다.
  2+2=4 는 너무도 자명하다. 이것은 직각이등변 삼각형의 경우이지만 피타고라스는 이것을 더욱 일반화하여 일반적인 직각삼각형의 경우에까지 적용했으리라는 추측이다.

  데오게네스 라에주스와 플루타크는 "이 정리를 발견한 피타고라스는 너무 기뻐서 그 공을 신에게 돌리며 황소 100마리를 잡아 감사의 제물로 바쳤다"라고 전하고 있다. 그러나 이 이야기에 대해서는 여러 가지 반대설도 있으며, 피타고라스는 "영혼은 불멸하고 윤회 이전하는 것"이라고 믿었으므로 피를 흘리는 것을 좋아하지 않았기 때문에 신에게 바친 것도 살아있는 소가 아니고, 밀가루로 만든 소 한 마리였다고 주장하고 있다.

그림에서 △ ABC ≡ △ QEB ≡ △ RDE ≡ △ PCD 이므로
□ BEDC는 정사각형이다.

∴  □ AQRP = □ BEDC + 4 △ ABC

∴  

3. 피타고라스의 증명법(2)

4. 바스카라 (Bhaskara 1114년생, 인도사람)의 증명법

이 그림은 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라 (Bhaskara : 1114~1185)의 증명인데, 그는 두 개의 그림을 나란히 그려놓고 ' '보라!'는 말 이외에는 더 이상의 설명을 제시하지 않았다.

물론, 간단한 대수로 이것을 증명할 수 있다.         

  

 ∴  c2 = a2 + b2

5. 페리갈(Perigal)의 증명법

△ABC에서 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 4a+b가 됨에 주목한다.
    단 O는 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 중심이며, O를 지나고 선분 BC에 평행 또는 수직인 선분으로 정사각형을 4등분한 것이다.

(이 절단은 1830년경 영국인 주식 중매인이자 아마추어 수학가인 헨리 페리갈에 의해 발견되어 1837년에 그에 의해 처음 발표되었다. 이것은 절단함으로써 피타고라스의 정리를 논증할 수 있는 여러 가지 방법 중에서 가장 훌륭한 방법의 하나이다.)-[퍼즐 : 두 개의 정사각형을 하나로]

6. 도형 분할을 이용한 증명법(1)

이 분할은 코라(Tabit ibn Qorra, 826-901)가 이미 알고 있었다.

  이 그림에서 빨간색 음영 부분은 공통이고 노란색의 4개의 직각삼각형도 모두 합동이므로 정리가 성립된다.

7. 도형 분할을 이용한 증명법(2)

이 그림은 레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519)가 고안했던 것이라고 한다.

  그림에서
                              
   AC // JG,  BC // FJ 되게 하면
 △ ABC ≡ △ CID ≡ △ FJG
 □ IDEH ≡ □ EABH ≡ □ CAFJ ≡ □ JGBC
 ∴ ABHIDE = CAFJGB
 ∴ ABHIDE - 2△ABC = CAFJGB - 2△ABC
 ∴ □ ACDE + □ CBHI = □ AFGB

8. 도형 분할을 이용한 증명법(3)

                                          
 C, F에서 AB, BC에 수선 CM, FN을 내려 그 교점을 P라고 하면
                
   FN ⊥ PG
  ∴ △ ABC ≡ △ CPN ≡ △ PFG
                                            
  ∴ □ CAFP = AC · CN = AC2
 같은 방법으로
                            
     □ CPGB = BC2
                              
 ∴  AB2 = BC2 + BC2

9. 아나리지의 증명법

BC 900년경 아나리지 (Annairizi)가 증명한 방법.
                                
B, D를 지나고 AC, BC에 평행선을 그리면 (1), (2), (3), (4), (5)의 넓이가 각각 같아서
                          
AC2 + BC2 = AB2

10. 캄파의 증명법

캄파(Campa)가 1902 년에 발표한 증명 방법.
                                
C, D를 지나고 AB, AC에 평행선을 그리면 (1), (2), (3), (4), (5)의 넓이가 각각 같아서
                          
AC2 + BC2 = AB2

11. 도형 분할을 이용한 증명법(4)

왼쪽 그림에서
                                                                    
□ AIFC = AC2 = (1) + (3) + (4)   □ JLEH = BC2 = (2) + (5)
                                                                                        
□ ADEB = AB2 = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)  이므로,   AC2 + BC2 = □ AIFC + □ JLEH

                  = (1) + (3) + (4) + (2) + (5) = (1) + (2) + (3) + (4) + (5)

                  = □ ADEB
                              
                  = AB2
즉,                               
          AC2 + BC2 = AB2

12. 도형분할을 이용한 증명법(5)

그림과 같이 도형을 삼각형으로만 나누고, 그 수를 될 수 있는 대로 적게 하자는 시도로, 여러 가지 비슷한 풀이법이 많이 있다.

13. 도형 분할을 이용한 증명법(6)

△ ABC = △ (2) = △ (3) = △ (4)

(1) + (2) + (3) + (4) = (6) + (7)

(8) + (6) = □ CQPB

(7) + (9) = □ BPLS

∴  □ CQPB + □ BPLS -( (1) + (2) + (3) + (4) )

           = (8) + (9)
                               
∴   AC2 + BC2 = AB2

14. 호킨스의 증명법

1909년 호킨스(Hawkins)가 증명한 방법
                                                         
CA > CB 라 하고, CA 위에 CB = CC' 이 되게 C'을 잡고,
                                     
BC 연장선 위에 AC = CB' 이 되게 B'을 잡는다.
                                                           
이 때, △ ABC ≡ △ B'C'C,  AB = B'C' = c

  △ACB' = b2/2, △BCC' = a2/2         □B'AC'B = △ AC'B' + △ BB'C'
                                             
또, 점 B'에서 점 C'을 지나  AB와 만나는 점을 D라 하면,
                                                               
  △ B'C'C ∽ △ AC'D 이므로 B'C'⊥ AB
   

     ∴  a2 + b2 = c2

15. 가필드의 증명법

 미국 대통령 중 몇 명은 수학과 미약한 관계를 유지했었다. 워싱턴(George Washington)은 유명한 측량가였고, 제퍼슨(Thomas Jefferson)은 미국에서 고등 수학을 가르칠 것을 장여하려고 많은 노력을 했으며, 링컨(Abraham Lincoln)은 유클리드의 '원론'을 공부함으로써 논리를 배웠다는 이야기가 있다.
  더욱 독창적이었던 사람은 20대 대통령 가필드 (James Abram Garfield, 1831-1881)였는데, 그는 학창 시절에 초등수학에 대한 강렬한 흥미와 상당한 재능을 갖고 있었다. 그가 독창적으로 피타고라스 정리에 대한 멋진 증명을 발견했던 시기는. 그가 대통령이 되기 5년 전인 하원의원 시절이었던 1876년이었다.  그는 다른 상원의원들과 수학에 대해서 토론을 하던 중에 그 증명이 떠올랐는데, 그 증명은 뒤에 뉴잉글랜드 교육잡지에 게재되었다. 이 증명은 사다리꼴의 넓이에 대한 공식을 배운 즉시 제시될 수 있다.
  1876년 가필드가 발표한 교묘한 증명 방법

□ DECA = △ DEB + △ ABC + △ DBA

∴  a2 + b2 = c2 

16. 삼각형의 닮음을 이용한 증명법

바스카라는 빗변에 수선을 그려서 피타고라스 정리에 대한 둘째 증명을 했다. 이 증명은 17세기에 영국의 수학자 월리스(John Wallis, 1616-1703)에 의해서 재발견되었다.

△ ADC ∽ △ ABC           b : x = c : b        ∴  b2 = cx

마찬가지로

△ CDB ∽ △ ABC   ∴  a2 = cy

∴   a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) =  c2

17. 원을 이용하는 증명법

                                                                                  
A 를 중심으로 반지름 AC 인 원을 그린다.       ∠C=∠R 이므로 BC 는 접선이다.
                          
∴  BC2 = BD · BE
                                                                                                                   
           = (AB - AD) (AB + AE)         =    (AB - AC) (AB + AC)         =   AB2 - AC2
                               
∴  BC2 + AC2 = AB2   

피타고라스 정리